Вы можете сделать это только в том случае, если почтовый ящик использует IMAP и имеет установленную функцию "простоя". Google "c# imap idle notification", чтобы найти различные способы использования этого, если ваш целевой почтовый ящик не поддерживает idle, то опрос-это единственный другой вариант.
Ваша другая проблема заключается в том, что asp.net это не та платформа, которая может поддерживать такого рода вещи. Веб-сайты-это технология запроса\ответа, ваш код запускается только тогда, когда пользователь запрашивает url-адрес в своем браузере, поэтому вы не можете надежно выполнять фоновые задачи. Если вы планируете использовать службу Windows, то вам понадобится эта служба для прослушивания\опроса новых электронных писем, так как этот код всегда будет запущен.